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内接四边形前沿信息_内接四边形的性质(2024年12月实时热点)

内容来源：好望角图库所属栏目：教程更新日期：2024-11-30

内接四边形

【圆中的相似模型】 (1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90Ⱟ𜛥Œ弧所对圆周角相等) (2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似) (3)已知线段比例关系，利用公共角及两边对应成比例证相似

𐟓š 初中数学几何：四点共圆的奥秘 𐟔 𐟎››点共圆的性质： 1️⃣ 共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。 2️⃣ 圆内接四边形的对角互补。 3️⃣ 圆内接四边形的外角等于内对角。 𐟔 探索题目： 1️⃣ (2020:山东东营) 如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a>b），M在BC边上，且BM=b，连接AM,MF，MF交CG于点P，将AABM绕点A旋转至AADN，将AMEF绕点F旋转至ANGF。给出以下五个结论，其中正确的个数是？ 2️⃣ (2023浙江宁波) 如图, Rt△ABC中, AB=AC=12√2, Rt△ADE中, AD=AE=6√2，直线BD与CE交于P，当ZEAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是多少？ 3️⃣ (2019浙江嘉兴) 如图, 四边形ABCD中，LABC=BCD=90Ⱜ AB=1，AE平分LBED。求CD的长和四边形ABCD的周长。 4️⃣ (2021上山东) 如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为(3，0)、(0,4)，点C是x轴正半轴上一点，连接BC。过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sinBDC的值是多少？ 5️⃣ (2023下湖北武汉) 如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC, LABC=Q，将AE绕着点A逆时针旋转𞗥ˆ𐁄，求证：AABE≌AACD。 𐟓š 深入了解这些性质和题目，可以帮助你更好地掌握几何，为中考数学打下坚实的基础！𐟌Ÿ

《平面四边形面积最大化探秘》探索平面四边形ABCD面积的最大值，是一场数学思维的盛宴。通过连接对角线AC，利用余弦定理巧妙转化，我们发现了面积与角度之间的微妙关系。当四边形成为圆内接四边形时，面积达到巅峰，展现了数学之美与和谐。不论是复杂公式推导，还是直观的海伦公式应用，都让我们领略到数学的无限魅力与可能。

初中数学知识点：圆的性质与判定 𐟓š 圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 𐟔 圆的有关概念弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 𐟓 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 𐟓˜ 弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 𐟌ˆ 圆周角圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 𐟔œ†内接多边形一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 𐟓 点与圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外（d > r）点P在圆上（d = r）点P在圆内（d < r） 𐟔„ 圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。 𐟓 三角形的外接圆外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 𐟔 切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 𐟓 切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 𐟔 反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。 𐟓 直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线

九年级上册数学知识点：圆 ### 圆的基本性质 𐟌ˆ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。圆的有关概念 𐟌 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径 ⊥ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系 𐟌𑊥œ†心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角 𐟌 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形 𐟔𙊤𘀤𘪥››边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系 𐟌Ÿ 点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外：d>r 点P在圆上：d=r 点P在圆内：d

#金秋动态创作赛# 嘿小伙伴们，今天咱们来聊点不一样的数学魔法！𐟧™‍♂️ 你知道吗？就算你只是知道了一个圆里藏着个四边形，还知道它那四条边的长短，咱们竟然能用大名鼎鼎的海伦公式——那个原本用来算三角形面积的神奇家伙，来偷偷摸摸估算出这个四边形的面积！是不是听起来就像变魔术一样？𐟤首先，别急着翻白眼，我知道你可能在想：“海伦公式？那不是三角形的专利吗？”没错，传统上是这么回事，但数学的世界就是这么奇妙，总有那么些不按套路出牌的解法。𐟘‰ 想象一下，你手里拿着一把神奇的尺子，量出了圆内接四边形ABCD的四条边：AB、BC、CD、DA，长度分别是a、b、c、d。现在，你想知道这四条边围起来的空间有多大，是不是得抓耳挠腮了？别急，咱们来场思维跳跃！虽然不能直接用海伦公式，但我们可以利用一个巧妙的小技巧——**分割与重组**！想象一下，如果我们能把这个四边形“切”成两个或者更多的三角形，那问题不就迎刃而解了吗？毕竟，海伦公式可是三角形面积计算的金牌选手嘛！𐟏† 具体操作起来，你可以尝试从四边形的一个顶点出发，比如A点，连接对角线AC，这样就把四边形分成了两个三角形：ABC和ADC。接下来，就是见证奇迹的时刻！对于三角形ABC，假设我们知道它的一条边AC（我们可以称之为e，虽然它实际上是四边形的对角线），再加上AB和BC，我们就可以尝试用海伦公式（或者更准确地说，是海伦公式的变种，因为e不是直接给出的，但我们可以利用余弦定理或其他几何关系来求）来估算它的面积。同理，对三角形ADC也能如法炮制。当然，这里有个小难点：我们通常需要知道一些额外的信息，比如某些角度或者特定的几何关系，来精确地找到那个“隐藏的”边e，或者直接计算出两个三角形的面积。但别急，网上有很多聪明的数学爱好者分享了他们的解法，从简单的近似计算到复杂的几何证明，应有尽有。所以，虽然这个过程听起来有点绕，但它真的很有趣，不是吗？就像解开一个复杂的谜题，每一步都充满了挑战和惊喜。而且，当你最终成功估算出那个四边形的面积时，那种成就感简直了！𐟎‰ 总结一下，虽然海伦公式本身不直接适用于四边形，但通过分割与重组的策略，加上一点额外的几何知识和创造力，我们依然可以间接地估算出四边形的面积。数学，就是这么一门让人又爱又恨，却又总能在不经意间给你惊喜的学科！𐟒– 好啦，今天的数学小课堂就到这里，希望这个关于圆内接四边形和海伦公式的奇妙之旅，能让你的大脑也来个小小的锻炼，同时也感受到数学的无限魅力！𐟚€ 记得，下次遇到难题时，不妨换个角度思考，说不定就有意想不到的收获哦！✨

九年级数学名卷精选，快来挑战吧！ - 𐟓š 武汉光谷实验周测卷 - 来一波阶段查漏补缺，家长们赶紧收藏起来提醒孩子练一练吧~⛽ 20. (本小题8分) 如图，四边形ABCD是内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分ACE。 (1) 如图，若LDCE=60Ⱟ𜌦𑂨𜚁ABD为等边三角形; (2) 如图，若AB-6,BD=3v10,求O的半径。 21. (本小题8分) 在2024年巴黎奥运会上，全红鲜凭借总分425.60分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王。在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系xOy。已知AB为3米,OB为10米,跳水曲线在离起跳点A水平距离为0.5米时达到距水面最大垂直高度k米。 (1) 当k=11.25时， ①求这条抛物线的解析式; ②求运动员落水点与点A的距离; (2) 图中OE=4.5米，OF=5.5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E,F）入水时才能达到训练要求，请直接写出k的取值范围。 22. (本小题12分) 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1，0),B(3,0）两点,与y轴交于点C。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 如图(1)，Q为抛物线上第一象限内一点，若ZAQC=2ZBAQ，求点Q的坐标; (3) 如图（2），P为x轴上方一动点，直线PM，PN与抛物线均只有唯一公共点M，N，且APAB的面积是10，直线MN是否会过定点？若经过定点，请求出这个定点，若不经过定点，请说明理由。

初中数学几何辅助线全攻略，轻松掌握！初中数学几何中，辅助线的添加是解题的关键。以下是各种与圆相关的辅助线类型，帮助你轻松应对各类几何问题。与圆有关的辅助线类型 𐟓 连半径构造圆心角：通过连接半径来构造圆心角，方便计算角度。构造同弧所对的圆周角：利用同弧所对的圆周角相等，简化计算。构造圆的内接四边形：通过内接四边形来证明或计算圆的性质。构造特殊三角形：利用特殊三角形来求解或证明圆的性质。与垂径定理有关的辅助线：利用垂径定理来证明或计算圆的性质。与切线有关的辅助线：通过切线来证明或计算圆的性质。内切圆与外接圆常作的辅助线：利用内切圆和外接圆的性质来解题。辅助圆：构造辅助圆来证明或计算圆的性质。中考切线真题辅助线：针对中考真题的切线辅助线，帮助你掌握解题技巧。数学提分小技巧 𐟓ˆ 课上的听讲理解胜于做好课堂数学笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考，学会提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点、会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习，定期重做：定期复习和重做错题，效果会比想象好很多。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握初中数学几何的辅助线添加方法，提升解题能力。

初中数学几何辅助线全攻略，轻松提分！大家好！今天我来给大家分享一些初中数学几何辅助线的经典方法，特别适合那些在几何上遇到困难的小伙伴们。准备好笔记本，咱们开始吧！解直角三角形常用辅助线 𐟓 首先，解直角三角形时常用的辅助线非常有用。特别是在锐角三角函数和平面图形认识章节中，这些辅助线能帮你快速求解非常规角度，比如15Ⱓ€75Ⱓ€105Ⱓ€120Ⱓ€135Ⱓ€150Ⱗ퉧퉣€‚掌握了这些方法，解题就像砍瓜切菜一样简单。四边形中的辅助线 𐟓˜ 四边形中的辅助线能帮助你更好地运用内割外补思想，构造特殊三角形和四边形。通过这些辅助线，你可以培养添辅助线的意识，让解题过程更加顺畅。与圆有关的辅助线 𐟌• 与圆有关的辅助线类型也有很多种：连半径构造圆心角构造同弧所对的圆周角构造圆的内接四边形构造特殊三角形与垂径定理有关的辅助线与切线有关的辅助线内切圆与外接圆常作的辅助线辅助圆中考切线真题辅助线全等三角形中的辅助线 𐟔„ 全等三角形中的辅助线也有多种方法：与角平分线有关截取法构造全等延长垂线构造全等倍长中线构造全等作平行线构造全等旋转法构造全等数学提分小技巧 𐟓ˆ 最后，给大家分享一些数学提分的小技巧：上课听讲胜于记笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写。如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考和提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点。会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三。对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习：定期复习和重做错题效果会非常好。这样不仅能巩固知识点，还能提高解题技巧。希望这些方法和技巧能帮到大家，祝大家数学成绩蒸蒸日上！𐟓š

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